La fractale, cet objet fascinant !

La fractale, objet mathématique relativement récent, nous permet d’expliquer des phénomènes complexes et de voyager aux frontières de l’imaginaire.

- temps de lecture approximatif de 9 minutes 9 min - Modifié le 29/03/2022 par ALT

La science classique - avec la géométrie euclidienne et les lois de Newton- a servi à définir le fonctionnement du monde pendant plusieurs siècles. Cependant, certains éléments de notre environnement semblent apparemment dépourvus de logique : les fractales sont ainsi des objets mathématiques qui tentent de comprendre ces phénomènes d’apparence chaotique et de prendre en compte leur complexité. De cette géométrie fractale est né grâce à l'informatique un art numérique en 3D, l'art fractal.

Fractale @Wikicommons
Fractale @Wikicommons

La semaine des mathématiques 2022 a eu lieu au début du mois de mars 2022 : comme chaque année, cet événement a comme objectif de proposer à tous une image actuelle, vivante et attractive des mathématiques.

La fractale, objet mathématique relativement récent, nous a semblé s’intégrer dans cette dynamique. Ces figures multiformes et esthétiques nous permettent d’expliquer des phénomènes complexes et de voyager aux frontières de l’imaginaire.


A la découverte des objets fractals

Présentation de la fractale

Une fractale est une figure autosimilaire avec une structure répétitive et réitérée : en zoomant sur n’importe quel endroit de la figure fractale, on retrouve la même structure que celle de la figure fractale dans son ensemble, quelle que soit le nouveau de zoom.

@Wikicommons

Prenez une poupée gigogne : sortez toutes les poupées de la poupée principale, mettez-les à côté les unes des autres et prenez-en une en photo.
Vous ne pourrez dire laquelle car elles sont toutes identiques car la même structure se retrouve en changeant d’échelle de zoom.

 

Une figure fractale est une figure dont la structure est ramifiée à l’infini et présente une inépuisable variété et une infinie complexité.

C’est un objet mathématique ou une forme complexe, dont la création trouve ses règles dans l’irrégularité ou la fragmentation.

Une caractéristique fondamentale des fractales est que pour une aire ou un volume limité, elles ont un périmètre infini !

 

L’origine du concept et du mot Fractale

Le mathématicien franco-américain Benoit Mandelbrot introduit la notion d’Object fractal au début des années 1970, avec comme objectif de montrer que certains phénomènes ayant une apparence erratique, possèdent en fait une structure mathématique interne.

Le terme fractal vient du latin fractus (irrégulier, brisé) et c’est en étudiant la côte de Bretagne et en la découpant en petites lignes, qu’il a justement introduit cette nouvelle notion.

 


Mesure de la dimension fractale de la côte de Grande-Bretagne, @Wikicommons

 

“Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite. La nouvelle géométrie donne de l’univers une image anguleuse et non arrondie, rugueuse et non lisse. C’est une géométrie du grêlé, du criblé, du disloqué, du tordu, de l’enchevêtré, de l’entrelacé. “

Mandelbrot

 

La courbe fractale “parfaite” : le flocon de Koch

Le flocon de Koch se construit à partir d’un segment de droite.

En réitérant de manière récursive les étapes ci-dessous, on obtient la courbe fractale du flocon de Koch :

  • Diviser un segment de droite en trois segments de longueurs égales
  • Construire un triangle équilatéral avec pour base le segment médian de l’étape 1
  • Supprimer le segment de droite qui était la base du triangle de l’étape 2

 

Étapes de la construction du flocon de Koch @Wikicommons

 

L’ensemble de Mandelbrot, la fractale 2D incontestée

L’ensemble de Mandelbrot est une figure fractale qui est facile à explorer soi-même grâce aux nombreux logiciels disponibles aujourd’hui pour la création de figures fractales. Il permet de créer des structures variées avec une profondeur infinie de détails, et pourtant la formule de départ permettant de générer cet ensemble est très simple.

Image de l'ensemble de Mandelbrot

@Wikicommons

Les changements d’échelle sur l’ensemble de Mandelbrot permettent toujours de retrouver la même figure.


Les fractales autour de nous :

Le nombre d’or φ est une fractale

Le nombre d’or a toujours fasciné les artistes autant que les mathématiciens, et permet de créer diverses constructions géométriques où s’insinuent les figures fractales.

Il est souvent utilisé car ses proportions sont singulières et équilibrées.

Le nombre d’or est dit représenter la « proportion divine », une proportion équilibrée et agréable pour l’œil humain. Ainsi, on retrouve ce nombre d’or dans la nature et dans les arts de façon récurrente.

Ce nombre d’or φ est le résultat de la division de deux longueurs : c’est un nombre irrationnel et est environ égal à 1,61803.

Le nombre d’or possède de nombreuses propriétés précises, qui se retrouvent en :

  • mathématique, avec la suite de Fibonacci,
  • géométrie, avec le rectangle d’or, le triangle d’or, la spirale d’or…
  • phyllotaxie (étude de la disposition des feuilles sur les tiges)

 

Une des propriétés du nombre d’or le désigne comme objet fractal :

  CCO, @BmL

Un rectangle d’or est un rectangle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or φ, avec un côté du rectangle qui a pour longueur φ et l’autre 1.

En partant d’un rectangle d’or, on obtient une fractale formée d’une succession de rectangles d’or. Puis en traçant un quart de cercle dans chaque carré obtenu, on obtient une spirale dorée, qui est très proche de la spirale de Fibonacci.

Un exemple de fractale dans la nature : le nautile

Nautile dans son rectangle d’or, @Wikicommons

La coquille du nautile s’approche beaucoup d’une spirale d’or ! La forme en spirale du nautile s’accroit dans une proportion égale au nombre d’or à mesure qu’il s’enroule vers l’avant.

 

Les fractales dans le monde végétal

Le monde végétal ne calcule pas et n’utilise pas de concepts mathématiques pour se développer. Pourtant, les feuilles, les tiges, les fleurs s’organisent autour d’axes, de spirales ou de plans de symétrie où nous retrouvons des formes géométriques plus ou moins compliquées. L’arbre – d’après Francis Hallé, botaniste- n’est pas considéré comme un individu mais comme une colonie d’individus imbriqués, avec des unités réitérées qui apparaissent sur un arbre pour différentes raisons.

Lorsque l’on coupe une branche, de nouvelles branches apparaissent le printemps suivant. Ces rejets ont leur propre individualité, conforme au modèle unitaire. Les arbres poursuivent leur développement en recopiant par vagues réitératives des structures similaires à toutes les échelles : cela en fait donc de superbes figures fractales.
Les frêles et les fougères sont d’autres formes qui sont caractérisées par la répétition d’une forme de base.
Elles se prêtent bien à une conception mathématique et à la modélisation avec le numérique de fougères fractales : un ordinateur peut exécuter un dessin qui ressemble beaucoup à une forme vivante, comme avec la fougère de Barnsley.

Fougère de Barnsley, @Wikicommons.

Chou romanesco, fractale naturelle, @Wikicommons

La structure du chou romanesco apparait avec clarté : des cônes réitérés, disposés en spirale. Que l’on regarde une spirale ou l’ensemble du chou, on retrouve bien la même forme, avec une géométrie auto similaire. La forme atypique de ce chou est due à une production de bourgeons par les tiges de plus en plus rapide : c’est cette accélération qui génère l’aspect pyramidal de chacun des cônes donnant à la structure un aspect fractal.

 

Les Fractales et l’art fractal

Les points de rencontre entre art et sciences ont longtemps été fréquents et naturels. De nombreuses œuvres d’architecture, de musique ou de peinture peuvent se lire sous le prisme des mathématiques (en particulier avec le nombre d’or) ou encore de la théorie des fractales. Par exemple, la grande vague de Kanagawa, se termine par des vaguelettes identiques à la vague principale.

Cependant, depuis quelques années, la diversité des techniques d’imagerie fractale a permis le développement de l’art fractal. A la rencontre des mathématiques, du graphisme et de l’informatique naissent des créations artistiques en 3D. Les imprimantes 3D permettent même des impressions de ces figures.

Le Mandelbulb est créé à partir de l’ensemble de Mandelbrot, modélisé en 3D.

Mandelbulb, @Wikicommons

De nombreux films utilisent des effets spéciaux utilisant des fractales en 3D, comme dans les films Cube où se déroule un escape Game tridimensionnel

L’univers Marvel utilise aussi des effets spéciaux créés à partir de concepts de géométrie fractale : par exemple, les héros Doctor Strange ou Spider Man évoluent dans des dimensions parallèles créés à partir de schémas de fractales , qui peuvent être répétés indéfiniment dans un monde multivers (Dimension de Mandelibus).

 

L’utilisation de ces fractales permet de créer des effets visuels hypnotiques, des kaléidoscopes d’images, un monde fantastique où évoluent les héros.

 

Autres utilisations de la théorie des fractales

Les champs d’application sont extrêmement divers.

A titre d’exemple, la théorie des fractales peut s’appliquer :

  • en finance, pour la modélisation des mouvements de marchés financiers
  • en médecine, avec la modélisation de virus ou tumeurs ou encore d’organes comme les poumons.

En conclusion

Le monde des fractales est complexe et ses manifestations sont multiples.

A mesure que la capacité de calcul des ordinateurs augmente, les fractales servent à comprendre et à modéliser le monde apparemment chaotique où nous vivons, ou encore à créer des espaces imaginaires et oniriques.

Il est probable que de nouvelles propriétés de ces objets mathématiques ou de nouvelles applications restent encore à découvrir dans l’avenir.

Si vous souhaitez créer votre propre “Art fractal”, divers logiciels existent pour modéliser des fractales et créer des œuvres numériques vous permettant de voyager dans l’imaginaire. Les plus connus, Mandelbulb3D et Mandelbulber, sont libres de droit.

 


Bibliographie

 

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